Weibull++应力-强度分析的置信区间

　　一个产品的失效概率等同于该产品所承受的应力超过产品本身的强度的概率。换句话说，如果给产品的应力一个分布函数，也给产品的强度一个分布函数，就可以通过计算此两个分布的重叠区域来估计产品的失效概率（也就是stress-strength分析）。重叠的区域（下图所示）也被称为应力-强度干涉。

　　然而，通常这些分布的参数估计值也会有一些不确定性，就给可靠性的估计带来不确定。本篇文章将讨论使用stress-strength分析能估计多高的可靠度，可以计算可靠性多高的置信度。也会阐述样本大小对置信度的影响。

　　可靠度估计

　　数学上，预期的失效概率F，可以按如下公式计算：

预期的成功概率，或者预期的可靠性R，按如下公式计算：

　　很明显，当干涉区域比较小时产品比较可靠。因此，有两种方法来提高可靠度：(i)提高平均应力和平均强度的差别，使两个pdf图彼此远离；或者(ii)减少分布的标准差，使分布曲线更窄。

　　理想情况是，产品每个元器件的应力和强度估计值都是完全正确的，但是通常情况下，达到这样的效果会很昂贵而且占用大量资源。比如，我们可以从客户使用数据来估计应力分布（比如，一辆客车的年英里数）。然而，应力的情况又取决于产品是如何使用的，而且根据用户使用的应力剖面和环境情况不同变化会非常大。比如，并不是所有的车辆每年都累积相同的里程，在相同的环境条件下使用，而且用户的个人偏好也相同。另外，强度分布主要取决于产品所用的材料，产品的外形尺寸和制造工艺。所有这些因素变化都会导致可靠性估计的不确定。

　　概率的置信区间

　　我们已经简要解释如何获得应力、强度分布以及影响分布的一些因素。失效概率的精确估计主要取决于分布的来源。我们定义的应力和强度分布越精确，估计的概率值就会越准确。基于分布的来源，可以是根据实际用户的数据或者是工程师根据工程知识或现有的一些参照来定义，和计算的概率值有关的有两种类型的变量：模型参数里的变量和概率值里的变量。本文我们将主要关注模型参数里的变量，并用Weibull++里stress-strength分析的简单例子来展示如何计算置信区间。

　　模型参数里的变量

　　由于用数据集来估计分布参数具有不确定性，stress-strength分析概率计算的一些变异度是无法避免的。这些不确定性可以用来估计所计算的概率的置信区间。可靠度的变化近似于通过如下的公式获得置信区间：

　　f1(x)和R2(x)的变化可以用Fisher信息矩阵估计。具体请看http://ReliaWiki.org/index.php/Confidence_Bounds。双侧置信区间可以用下面的公式计算：

　　如果上边界(U)和下边界(L)不是对应的无穷大(∞)和零，那么计算的R值的变化可以用[1/F1(U)- F1(L))]²计算来调整。

　　例子

　　这个例子里我们将使用stress-strength分析来估计打印机里一个元器件的可靠度。应力是用户打印的页数的分布，强度是打印机内部测试时元器件失效前打印出来的页数的分布。打印机的质保期是一年，我们的目的是估计质保期内元器件的可靠度，评估可靠性的置信度并考察样本大小对置信度的影响。

　　20位不同的用户每年打印的页数如下表所列。这些信息代表应力，因为这描述的是给一年时间元器件将做多少“工作”。

　　内部测试时，元器件失效前打印的页数（20台打印机）分类如下（强度数据）：

　　解决方法

　　我们将使用上面表格所列的数据估计应力和强度分布。每组数据都将在Weibull++标准表单里分析，使用对数正态分布和MLE分析方法。如下所示，估计的应力分布参数是log-mean=10.196956,log-std=0.238039。

　　强度分布参数估计值为log-mean = 10.892812，log-std = 0.270042。

　　现在我们可以使用stress-strength表单来比较两组数据表。两组数据的pdf图如下所示：

　　打印机估计的可靠度为97.34%。相应的置信度估计值为上限99.22%，下限91.33%（90%的置信度）。

　　然而，使用较大的样品量用作应力和强度数据分析，置信度的宽度将会变窄。因此，若用较大的样本量，我们对产品的可靠度就更加确定，就可以得到更精确的打印机质保期返修估计。

　　我们假设收集的用户数据和内部测试数据都是双份的。下面是扩展的数据集。我们将用相同的分析设置来分析每组数据。

　　这个例子中应力分布的参数估计值为log-mean = 10.244621， log-std = 0.239873。强度分布的参数估计值为log-mean = 10.940471， log-std = 0.270892。现在我们就可以使用stress-strength表单来比较这两组扩展数据。

　　可以在下面的结果看到，打印机的可靠度估计值为97.28%，并没有太大的改变。另外一方面，相应的置信度就变窄为上限98.84%，下限93.76%（同样在90%的置信度），表示这是一个更精确的可靠度估计。

　　总结

　　文中，我们提供了stress-strength分析背后的理论和数学公式，并用一个基本的例子展示了置信度的计算。例子阐述了通过增加测试过程收集的数据量，用stress-strength分析将得到一个更精准的产品可靠度估计值。

　　摘自ReliaSoft Hot wire